Les ensembles ; aux fondements des mathématiques

Sommaire

Ensembles, relations et applications : Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi que la notion de fonction émerge. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable !

Nombres, opérations, structures : Les opérations, que l'on utilise tous les jours quand il s'agit de nombres, concernent toutes sortes de contextes. Elles permettent, selon leurs propriétés, de définir des « structures ».

L'infini et les paradoxes : L'introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a immédiatement conduit à des problèmes profonds : paradoxes, contradictions, impossibilités, objets bizarres défiant l'intuition...
Les causes profondes en ont été identifiées, elles ont pour nom l'infini et l'autoréférence.

La théorie et ses axiomes : Choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire. Si un consensus a fini par émerger au sein de la communauté mathématique, cette dernière n'arrive pas encore à s'accorder sur les détails...

Le dénombrable et le continu : Il existe plusieurs sortes d'infinis. Dans un ensemble dénombrable, tous les éléments peuvent être énumérés. Au contraire, dans un continuum comme l'ensemble des nombres réels, on trouve toujours des éléments entre deux quelconques d'entre eux, aussi proches soient-ils. Mais existe-t-il un infini « coincé » entre le dénombrable et le continu ? Kurt Gödel et Paul Cohen ont apporté une réponse surprenante à cette question...