Pole

  • Les clés de toute oeuvre mathématique sont la créativité, l'originalité, la beauté, le caractère d'évidence et d'achèvement. C'est aussi exactement ce qui caractérise une oeuvre d'art. Dès lors, un dialogue fécond entre arts et mathématiques s'établit naturellement, d'autant que les techniques mathématiques peuvent se mettre au service de l'art.
    La notion de perspective relève aussi bien de la peinture que de la science.
    Il en va de même de la symétrie, des trompe-l'oeil, des anamorphoses ou des fractales. L'architecture et les décors de l'Alhambra de Grenade fascinent encore aujourd'hui, tout comme les peintures abstraites de Piet Mondrian, Paul Klee, François Morellet, Vassily Kandinsky ou de Victor Vasarely.
    Aussi loin que l'on remonte dans l'histoire, mathématiques et arts sont entremêlés.
    L'ouvrage propose un voyage très complet et documenté, visuellement plaisant, à travers ces liens parfois évidents, parfois insoupçonnés que les artistes et les mathématiciens ont tissés au cours des siècles (et tissent encore).

  • Philosophie et mathématiques sont nées simultanément du regard que l'homme porte sur le monde qui l'entoure. Infini, hasard et déterminisme, logique et paradoxes sont des sujets communs aux deux disciplines qui ont toujours fasciné, et n'ont pas encore livré tous leurs secrets. Pendant toute une époque, ce sont les mêmes savants qui étaient philosophes et mathématiciens. En s'interrogeant sur la nature du savoir mathématique (les nombres existent-ils ? peut-on compter l'infini ? qu'est-ce qu'un point dans le plan ?), des penseurs et des savants comme Platon, Aristote, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré ont fait avancer la réflexion.
    Ces interrogations ont conduit à l'émergence de théories sur les concepts concernés mais aussi sur le langage et son efficacité, l'interaction sémantique / syntaxe ou encore le rôle de l'intuition. Elles ont aussi été à l'origine de croyances comme celle de l'existence d'entités inaccessibles.
    Les enjeux de ces questionnements, de ces échanges, de ces controverses sont mis ici à la portée de tous, sans occulter les difficultés suscitées par les notions présentées.

  • L'intuition visuelle qui règne dans la géométrie plane est souvent prise en défaut lorsque l'on passe à la 3D. Se représenter les volumes n'est pas évident, alors que les cercles, triangles et autres polygones ne posent pas de difficultés.
    La question se pose depuis toujours aux concepteurs, artisans, architectes, ingénieurs, bâtisseurs, astronomes, artistes... Chaque corps de métier a développé un mode de représentation des objets qu'il doit manipuler. Du « patron » à la géométrie descriptive, de la projection stéréographique à la perspective, de nombreuses techniques ont été imaginées.
    Ces dialogues entre le plan et l'espace ont débouché sur la quatrième dimension... et plus encore ! D'autres branches des mathématiques sont alors conviées pour révéler les secrets des dimensions.
    Ce sont toutes ces explorations que ce nouveau livre très visuel de la Bibliothèque Tangente vous propose.

  • Le nombre est l'un des objets mathématiques de base. On l'utilise tous les jours, dans de nombreux contextes. Mais de quels nombres parle-t-on ? Des entiers positifs, à l'origine servant à compter ? Des nombres négatifs, qui mesurent essentiellement les variations, et dont l'apparition est relativement récente ?
    Des nombres imaginaires, apparus au même moment, indispensables outils de l'ingénieur ? Et il y en a bien d'autres !
    Cet ouvrage présente d'abord la formidable histoire des nombres, de l'apparition du zéro à celle des nombres transcendants, en passant par les différents systèmes de numération.
    Puis il chemine sur des sentiers plus ou moins classiques : le nombre p, les triplets pythagoriciens, les partages d'entiers, l'hypothèse du continu, les équations diophantiennes, ou les pépites dues au fameux mathématicien hongrois Paul Erdös.
    Pour terminer, il livre de vrais secrets, de certaines curiosités fascinantes aux applications les plus confidentielles de la théorie des nombres.

  • Les taux, les indices, l'inflation sont des notions relativement familières. Mais la Bourse, qui a pris une telle importance, n'est pas forcément maîtrisée par ceux-mêmes qui y sont confrontés, consciemment ou non.
    Derrière les cours et les indices boursiers, se cachent des mathématiques.
    Plus coriace sur le plan théorique : l'option est le droit d'acheter ou de vendre un actif à une date future moyennant un certain prix. Sa théorisation mathématique est au coeur d'une vraie révolution conceptuelle qui a valu le prix Nobel à ses auteurs.
    Cet ouvrage contient tout ce que les utilisateurs de la finance moderne ont besoin de connaître. Il sera utile aux simples particuliers, mais aussi aux étudiants et à tous ceux qui ont besoin, dans le cadre de leur métier, de décoder les mécanismes bancaires et boursiers.
    Cette nouvelle édition explique de plus le fonctionnement des dernières crises et en tire les conséquences.

  • L'économie n'a pas toujours fréquenté les mathématiques, jusqu'à l'arrivée de penseurs qui, au XIXe siècle, y ont fait entrer la rationalité scientifique. L'économie peut dès lors être considérée comme une science. Quel rôle les modèles mathématiques jouent-ils dans son analyse et son développement ? Peuvent-ils contre-balancer les décisions reposant sur une approche dogmatique, et donc influencer le politique ?

  • À son évocation, le terme « fractal » fait immédiatement surgir de saisissantes images, colorées, infiniment complexes, fascinantes.
    En pratique, les formes fractales restent globalement identiques à elles-mêmes, quelle que soit l'échelle à laquelle on les regarde. On les retrouve dans la nature, des côtes bretonnes déchiquetées à la forme des nuages, en passant par les fougères ou les choux romanesco. Benoît Mandelbrot, le « père des fractales », a oeuvré toute sa vie pour que change notre regard sur les formes qui nous entourent. En plus de générer des images magnifiques, ces objets géométriques possèdent une définition mathématique qui reste à la portée de tous. Elles ne pouvaient donc que nous séduire, au point même d'inspirer de nombreux artistes, ce qui conduit à un ouvrage très visuel avec des images de toute beauté.
    Le principe des fractales se généralise dans de nombreux domaines : dans les cours de la bourse, dans les encéphalogrammes, en théorie du signal, en médecine, en sismologie, dans les statistiques, dans la consommation d'énergie d'un pays ou la fréquence des appels d'un standard téléphonique...

  • Sous le nom d'intégrale se cache une idée simple, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. Comment calculer l'aire d'une zone délimitée par une courbe ? Le génial Archimède découpe la surface à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis il procède par encadrements successifs. C'est le point de départ d'une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s'emparent de la question, se mènent une guerre sans merci qui débouchera sur la fondation du calcul intégral. Grâce à eux, l'analyse se met au service de la géométrie. La machine est lancée, et ne s'arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l'utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de la physique. La théorie progressera, notamment avec Riemann.
    Elle débouche aujourd'hui sur des extensions permanentes. C'est cette histoire, accompagnée d'explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.

  • La droite, objet le plus familier de la géométrie, prend selon les contextes, le nom de ligne, d'axe, d'horizon, de direction, de trait... Son importance en géométrie peut se mesurer au nombre extraordinaire de mathématiciens et savants qui ont laissé leur nom à la figure contenant une droite qu'ils ont mise en évidence.
    Mais la droite n'est pas cantonnée à la géométrie : elle est de manière naturelle associée à la représentation des nombres réels, ce qui ouvre tout un champ d'étude.

    Au-delà, son usage est encore sans limite : des illusions d'optique au graphisme, les frontières même de la droite se brouillent, pour le plus grand plaisir des lecteurs de ce livre !

  • On pourrait s'attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l'on trouve le fameux nombre d'or), celui de la réalisation d'outils rationnels précis, et même celui de l'arbitrage entre l'exactitude et l'esthétique.

  • Introduction au concept d'espace vectoriel et de ses éléments fondamentaux comme la base, la dimension, le déterminant ou l'application linéaire et de la géométrie vue comme une branche de l'algèbre. Avec une présentation des différents domaines dans lesquels ils sont utilisés tels que le dessin vectoriel, le traitement de données de masse et les techniques de composition musicale.

  • Quelle est l'origine de ce plaisir esthétique qui traverse chaque usager des mathématiques ? Pourquoi n'est-il pas accessible au profane ? À partir de ce questionnement, les composantes intimes des mathématiques, familières aux spécialistes, se dévoilent aux yeux de tous. Et le ressort de chacune des démonstrations choisies par les auteurs illustre de façon saisissante ce qu'on peut entendre par « beauté ».
    Les mathématiques, sans qu'on les perçoive forcément, peuvent également se mettre au service de nombreuses techniques artistiques pour créer la beauté. C'est le deuxième thème de l'ouvrage, illustré par des exemples dans de nombreux domaines, de la musique aux arts plastiques ou à la littérature.
    Enfin, les auteurs se sont posé une question qui, en apparence, n'a de commun avec l'esthétique que la sonorité du mot : peut-on définir une éthique des mathématiques ?

  • On connaissait l'usage des probabilités pour dépister certaines maladies ou pour tester l'effet de vaccins ou de médicaments, en intégrant en particulier ce qu'on appelle l'effet placebo. On a progressé ces dernières décennies dans la connaissance de la propagation des épidémies, ce qui a considérablement affiné la lutte contre elles et donné plus de sens à la façon d'utiliser la vaccination. Mais les progrès récents de la médecine dans leurs différentes directions (étude de l'ADN, imagerie, objets connectés, lutte contre le cancer) utilisent encore plus de mathématiques : statistiques, bien sûr, mais aussi géométrie, analyse de Fourier, équations différentielles, systèmes dynamiques, théorie des ondelettes...

  • La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ».
    Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l'ensemble du savoir mathématique. Comment ? C'est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette théorie.

  • Les nombres imaginaires, dont le carré est un nombre négatif, ont mis des siècles à être acceptés. Ils ont donné naissance aux nombres complexes, créés à l'origine pour résoudre des équations algébriques. Cette découverte allait bouleverser les mathématiques. Algèbre, analyse, géométrie, trigonométrie disposaient désormais d'un outil puissant qui allait permettre des découvertes fondamentales et de nouvelles formes de démonstrations.
    Au-delà des mathématiques, les complexes ont des applications dans de nombreux domaines, scientifiques, bien sûr, mais aussi plus inattendus.
    La technologie et même l'art leur doivent beaucoup.
    Du lycéen au scientifique professionnel, du technicien à l'artiste, personne ne peut se passer des nombres complexes.

  • L'informatique est avant tout un système de représentation de l'information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour.
    L'algèbre booléenne et l'algorithmique sont les outils qui permettent de numériser (« mettre sous forme de nombres »), représenter et manipuler l'information. La logique formelle comme la sémantique cherchent à préciser ce qui peut être formalisé et expliqué à un ordinateur. La théorie du signal permet de faire circuler des données d'un ordinateur à l'autre. La cryptologie vise à étudier la sécurité des données qui transitent.
    Les codes correcteurs d'erreurs ont pour mission de détecter et de corriger toute erreur sur les données.
    Les ondelettes autorisent la compression des sons et des images (avec les fameux formats MP3, MP4, JPG ou DIVX). Les graphes permettent d'étudier la distribution et la connectivité d'un réseau d'ordinateurs. L'analyse de données permet de gérer le déluge d'informations qui submergent les serveurs.
    Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible !

  • La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique. Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes. L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément !

  • Les concepts scientifiques ne naissent pas tout prêts dans la tête de leurs auteurs : souvent, on leur rétorque «Mais c'est impossible ! ». Et pourtant, les inventeurs ont parfois raison contre la pensée dominante en science ou en vogue dans la société. Les mathématiques ne font pas exception, et ce numéro raconte les aventures scientifiques et humaines de ce domaine. Tout commence avec les problèmes déliaques : la « quadrature du cercle » est si célèbre que, dans le langage courant, elle désigne une impossibilité.
    Que d'outils utiles pour la géométrie ont été inventés, que de vocations scientifiques sont nées du désir de résoudre la trisection de l'angle, la duplication du cube ou le grand théorème de Fermat ! La vertu didactique de ces problèmes, dont certains ont mis près de deux mille ans à recevoir une solution, est souvent négligée.
    En fait, tout commence peut-être avec l'apparition du langage et des premiers paradoxes, ou avec les interrogations de l'homme sur l'infini. De tout temps, des esprits inspirés, créatifs, originaux, ont bousculé les idées reçues et ont pensé des objets qui ne « devraient pas exister », qui sont à la base des grandes découvertes, même en mathématiques.

  • Comment sont nées les mathématiques ? Qui étaient les mathématiciens des origines ? Qu'ont-ils découvert ?
    Comment leur savoir nous est-il parvenu ?
    Papyrus ou tablettes de pierre, les vestiges archéologiques ne mentent pas : depuis des temps immémoriaux, l'homme pose et résout des problèmes de mathématiques. Pour des raisons de superstition ou pour des considérations pratiques, il faut compter, calculer des distances, des aires, des volumes.
    Aux quatre coins du monde, les mathématiciens inventent des systèmes de numération et des algorithmes de calcul, inventent des notions profondes, cherchent la valeur de pi, réfléchissent même à la notion d'infini !
    De Pythagore à Hypathie, de Liu Hui à al-Khwarizmi, d'Aryabhata à Gerbert d'Aurillac, des personnages brillants construisent la reine des sciences. Avec leur portrait, c'est celui des mathématiques tout entières qui est brossé dans cet ouvrage.

  • La théorie des graphes est née au 18ème siècle d'un problème de parcours théorisé par le mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle va trouver de nombreux développements dans l'aide à la décision : stratégie militaire, optimisation de chemins, stratégies de jeux, organisation de réseaux. Mais c'est avec l'avènement de l'informatique qu'elle va prendre une nouvelle dimension. Représentation des données, algorithmes de programmation.
    Au-delà des applications classiques, c'est à ce renouveau de la théorie des graphes et à ses innombrables applications que cet ouvrage va s'attacher.

  • La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait la spécificité des mathématiques.
    L'ouvrage fait le point sur la variété des méthodes utilisées pour démontrer, mais aussi sur la créativité dont il faut faire preuve quand la seule façon de faire consiste à sortir des sentiers battus.
    Il évoque également les remises en cause nées au vingtième siècle des travaux de Kurt Gödel.

  • Les aléas de la vie sont nombreux : les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les professionnels de se prémunir contre les risques financiers ou climatiques. Seules les mathématiques du hasard sont à même de proposer des modèles intégrant de manière satisfaisante ces composante aléatoires.
    Les premières rentes viagères datent de. l'Antiquité ! Durant des siècles, ont été proposés des produits financiers, évidemment moins sophistiqués que ceux d'aujourd'hui. Et puis, au XVIIIe siècle, la statistique a émergé en tant que discipline scientifique autonome. Il devient possible de collecter des données fiables, d'établir des tables de mortalité et de résoudre d'innombrables problèmes. Aujourd'hui, les actuaires manipulent des chaînes de Markov, des mouvements browniens et même des outils de théorie des jeux et de mathématiques de la décision !

  • Deux mondes passent pour dissemblables, voire antagonistes. Pourtant, leurs rencontres sont fréquentes, rencontres auxquelles le magazine Tangente fait une place importante dans chaque numéro sous le titre de « Passerelles ». Il s agit des mathématiques et des arts plastiques, dont les relations ont donné naissance à cet ouvrage. On connaît quelques-unes de ces relations : la symétrie, la perspective, le nombre d or, les pavages et plus récemment les fractales. On sait moins que des artistes renommés ont entièrement fait reposer leurs créa- tions sur des considérations géométriques ou mathématiques, ou encore que des écoles comme le Bauhaus de Weimar les ont intégrées dans la formation des artistes qui y sont passés.

empty